针对您提出的问题，即劳动仲裁存在错误、公司无人出庭且已过诉讼时效，公司该如何自救，以下是我的详细解答：

首先，要明确的是，一旦劳动仲裁裁决书已经生效且过了上诉期，从法律程序上讲，公司确实失去了直接通过上诉来推翻裁决的机会。但这并不意味着公司就完全无计可施。

1. 申请暂不予执行：

   • 公司可以向执行局提交暂不予执行申请书，依据相关法律法规（如《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释(一)》第二十四条），指出仲裁委在事实认定或程序上存在的错误，请求不予执行该仲裁裁决。
   • 这一步骤的关键在于提供充分的证据和理由，证明仲裁裁决确实存在错误。

2. 进入执行异议程序：

   • 如果执行局接受了暂不予执行的申请，案件将进入执行异议程序。
   • 在执行异议程序中，公司需要再次阐述其立场和理由，争取让执行局裁定原劳动仲裁书不予执行。
   • 需要注意的是，执行异议程序一般不会进行“确权”处理，即不会直接判定双方是否存在劳动关系或工资是否足额发放，而是只会裁定是否执行原仲裁裁决。

3. 充分准备庭审：

   • 无论是提交暂不予执行申请书还是参与执行异议程序，公司都需要充分准备庭审材料，包括但不限于证据、法律依据、公司立场和理由的详细阐述等。
   • 庭审质量对于最终结果至关重要，因此公司应尽可能确保庭审的充分性和有效性。

4. 接受对方上诉权利：

   • 即使执行局裁定原劳动仲裁书不予执行，对方仍有上诉的权利。
   • 公司应做好应对对方上诉的准备，包括继续收集证据、准备法律意见等。

5. 加强内部管理：

   • 此次事件也暴露了公司在文件管理和法律事务处理上的不足。
   • 公司应加强内部管理，确保类似事件不再发生，包括建立完善的文件管理制度、加强法律培训等。

6. 寻求专业法律帮助：

   • 在整个过程中，公司应寻求专业律师的法律帮助，确保每一步都符合法律程序和要求。
   • 律师可以提供专业的法律意见和策略，帮助公司更好地应对此次危机。

综上所述，虽然公司错过了直接上诉的机会，但仍可以通过申请暂不予执行、进入执行异议程序等方式来争取自救。同时，公司也应加强内部管理，避免类似事件再次发生。在整个过程中，寻求专业法律帮助是至关重要的。