结论：在一审时，若法庭提示当事人可申请笔迹鉴定而当事人不申请，且笔迹鉴定是关键证据，这可能会对当事人的案件产生不利影响。具体来说，如果对方提出笔迹非当事人所签，而当事人未申请鉴定，法院可能会根据证据规则作出不利于当事人的推定。

详细分析：

1. 举证责任与笔迹鉴定：

   • 在民事诉讼中，举证责任通常遵循“谁主张，谁举证”的原则。若一方主张协议上的签字非对方所签，则提出该主张的一方有责任提供证据支持其主张。然而，在某些情况下，法院可能会根据案件的具体情况，将举证责任分配给另一方，特别是当另一方控制关键证据且无正当理由拒不提交时。
   • 笔迹鉴定作为一种科学证据方法，对于确认签字真实性具有重要作用。若当事人未申请笔迹鉴定，而笔迹鉴定又是关键证据，那么法院在判断签字真实性时可能会面临困难。

2. 不申请笔迹鉴定的法律后果：

   • 若当事人未申请笔迹鉴定，且对方提出笔迹非当事人所签，法院可能会根据证据规则和案件情况作出不利于当事人的推定。例如，法院可能会认为当事人未能提供充分证据证明签字是其本人所签，从而认定签字非当事人所签。
   • 这种推定可能会对当事人的案件产生决定性影响，特别是在涉及合同效力、财产分割等关键问题时。

3. 建议与应对措施：

   • 在一审时，若法庭提示可申请笔迹鉴定，当事人应认真考虑并评估笔迹鉴定对案件的重要性。若笔迹鉴定是关键证据，当事人应积极申请鉴定，以提供充分证据支持其主张。
   • 若当事人因各种原因未申请笔迹鉴定，且法院作出了不利于其的推定，当事人可在上诉时提出相关异议，并尝试提供其他证据证明签字是其本人所签。然而，这通常较为困难，因为上诉法院在审查案件时主要依据一审法院的证据和事实认定。

4. 法律依据：

   • 根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》等相关法律法规，当事人有责任提供证据支持其主张。若当事人未能提供充分证据，法院可能会根据证据规则和案件情况作出不利于其的推定。
   • 同时，《证据新规》第九十五条规定：“当一方当事人控制关键证据，但无正当理由拒不提交的，另一方主张该证据的内容不利于控制人的，人民法院可以认定该主张成立。”这一规定也适用于笔迹鉴定等关键证据的提交情况。

总结：在一审时，若法庭提示可申请笔迹鉴定而当事人不申请，且笔迹鉴定是关键证据，这可能会对当事人的案件产生不利影响。因此，当事人应认真考虑并评估笔迹鉴定对案件的重要性，并积极申请鉴定以提供充分证据支持其主张。若有问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。