结论前置：狗主人坚决要求赔偿5000元是否构成敲诈，需综合考虑赔偿金额的合理性、索赔方的行为手段及其主观目的。若赔偿金额基于实际损害和法律规定提出，且索赔过程中未使用威胁或要挟手段，则不构成敲诈；反之，若赔偿金额过高且伴随威胁或要挟行为，则可能涉嫌敲诈。
关于赔偿金额的合理性：
- 在动物侵权案件中，赔偿金额应基于实际损害和法律规定来确定。这包括被咬死狗的市场价值、饲养成本、情感价值损失（如有）等。若5000元是基于这些合理因素提出的赔偿要求，且能够提供相应证据支持，则该赔偿金额可能是合理的。
- 然而，若被咬死的狗本身价值不高，或饲养成本较低，且索赔方无法提供充分证据证明5000元的合理性，那么该赔偿金额可能被视为过高。
关于索赔方的行为手段：
- 敲诈勒索罪的关键在于索赔方是否使用了威胁或要挟的手段来迫使对方支付赔偿。若狗主人在索赔过程中未使用任何威胁或要挟手段，而是通过正常协商或法律途径来主张权利，则不构成敲诈。
- 反之，若狗主人以散布不利言论、曝光个人信息、威胁采取法律行动外的不当手段等方式相威胁，迫使对方支付不合理的高额赔偿，则这种行为可能构成敲诈。
关于主观目的：
- 敲诈勒索罪还要求索赔方具有“非法占有”的目的。若狗主人提出赔偿要求是基于合理的损害和法律规定，且没有非法占有的主观故意，则不构成敲诈。
- 若狗主人故意夸大损失、虚构事实以获取超出实际损失的巨额赔偿，并具有非法占有的主观故意，则可能涉嫌敲诈。
法律建议：
- 若您认为狗主人的赔偿要求过高且涉嫌敲诈，首先应与对方进行协商，尝试达成合理赔偿协议。在协商过程中，您可以要求对方提供赔偿金额的合理依据，并据此进行谈判。
- 若协商无果，您可以考虑报警处理。公安机关将根据具体情况进行调查，并依法对行为人进行处理。若确实构成敲诈勒索罪，行为人将面临刑事责任。
- 在处理此类纠纷时，建议您保留好相关证据，如被咬死狗的照片、价值评估报告、与狗主人的沟通记录等，以便在需要时提供证明。
可能的法律后果：
- 若狗主人的行为构成敲诈勒索罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金的处罚；数额巨大或者有其他严重情节的，将面临更重的刑罚。
- 若狗主人的行为不构成敲诈勒索罪，但赔偿要求过高且无法达成协议，双方可能需要通过法律途径（如诉讼）来解决纠纷。在诉讼过程中，法院将根据实际情况和法律规定来判决赔偿金额。
综上所述，狗主人坚决要求赔偿5000元是否构成敲诈，需综合考虑多个因素。若您对此有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。