关于能否打赢官司的结论：
在没有劳动合同的情况下，您因右手中指末节离断而寻求法律救济，能否打赢官司主要取决于您能否提供充分证据证明与用人单位之间存在事实劳动关系，以及该伤害是否构成工伤。虽然缺乏书面劳动合同会增加证明难度，但并不意味着无法胜诉。
法律背景与建议：
- 事实劳动关系的证明：根据《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》，用人单位未与劳动者签订劳动合同，认定双方存在劳动关系时可参照工资支付凭证或记录（职工工资发放花名册）、缴纳各项社会保险费的记录、用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等能够证明身份的证件、劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录、考勤记录以及其他劳动者的证言等。因此，您应尽可能收集这些证据来证明与用人单位之间存在事实劳动关系。
- 工伤认定：一旦证明存在事实劳动关系，您需要按照《工伤保险条例》的规定，在事故伤害发生之日起1年内，向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。工伤认定需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等。
- 律师的作用：虽然您没有直接询问是否需要律师，但考虑到证据收集、法律程序以及可能的谈判或诉讼，聘请一位专业律师将大大增加您胜诉的机会。律师可以帮助您整理证据、准备申请材料、代表您与用人单位协商或进行诉讼。
可能的法律后果：
- 如果工伤认定成功，您将有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、康复费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。具体待遇标准根据《工伤保险条例》和当地的相关规定执行。
- 如果用人单位未为您缴纳工伤保险费，根据《工伤保险条例》第六十二条的规定，用人单位应按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。
- 如果用人单位拒绝承担责任，您可能需要通过劳动仲裁或诉讼来维护自己的权益。
进一步行动建议：
- 立即收集能够证明与用人单位之间存在事实劳动关系的证据。
- 尽快向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 如有需要，及时聘请一位专业律师来协助您处理此事。
如果您有任何进一步的法律问题或需要更具体的建议，请直接向我咨询。