当银行储户身故后，其存款的继承问题确实是一个需要仔细处理的事项。以下是根据国家金融监督管理总局和中国人民银行的相关规定，为您提供的详细解答：
一、小额存款提取的简化流程
账户限额提高：
- 自2024年6月1日起，已故存款人小额存款简化提取的账户限额已统一提高至5万元人民币（或等值外币，不含未结利息）。这一调整旨在进一步便利群众办理存款继承。
- 考虑到地区和机构差异，农村中小银行应当于2025年底前落实该要求。
提取范围扩大：
- 银行业金融机构的黄金积存产品以及代理销售的国债、理财产品，在到期或赎回后，也可以按照相关规定办理提取，其本金和实际收益一并计入5万元的账户限额。
材料要求：
- 提取申请人需提交相关材料。若材料不齐全或不符合要求，银行业金融机构应当一次性告知申请人相关要求，以便其补充完善。
二、特殊情况下的处理
查询已故存款人账户交易明细：
- 已故存款人的第一顺序继承人在提取存款时，若基于合法、正当理由申请查询已故存款人账户交易明细，银行业金融机构应当应申请人要求，提供已故存款人死亡后以及死亡前6个月内的账户交易明细（已故存款人生前另有安排的除外）。
丧葬费、抚恤金的提取：
- 若已故存款人账户汇入丧葬费、抚恤金，银行业金融机构可以参照相关文件要求，为第一顺序继承人办理丧葬费、抚恤金的简化提取。且丧葬费、抚恤金不计入5万元的账户限额。
三、银行业金融机构的责任与义务
尽职免责机制：
- 银行业金融机构应当建立健全已故存款人小额存款尽职免责机制。对于由简化提取引起的投诉、诉讼、资金损失，若办理人员尽到合理谨慎义务，则实行尽职免责。
培训与督促：
- 银行业金融机构应当加大对分支机构落实已故存款人小额存款提取相关要求的培训和督促力度，确保政策得到有效执行。
政策宣传与服务改进：
- 银行业金融机构应当做好政策宣传，切实加强和改进服务，便利群众办理小额存款继承。
综上所述，当银行储户身故后，其存款的继承问题可以通过遵循国家金融监督管理总局和中国人民银行的相关规定来妥善处理。特别是对于小额存款的提取，已简化了流程并提高了限额，为继承人提供了更多的便利。