当公司雇员被第三人侵权受伤时，雇主在承担赔偿责任后，确实有权向该第三人进行追偿。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条的规定，提供劳务期间，因第三人的行为造成提供劳务一方损害的，提供劳务一方（即雇员）有权请求第三人承担侵权责任，同时也有权请求接受劳务一方（即雇主）给予补偿。接受劳务一方（雇主）在补偿后，可以向第三人追偿。
二、追偿条件与流程
追偿条件：
- 第三人侵权：雇员的受伤必须是由第三人的直接行为导致的。这是雇主能够向第三人追偿的前提条件。
- 雇主已赔偿：雇主已经基于劳务关系对受伤的雇员承担了相应的赔偿责任或补偿。只有雇主履行了赔偿义务，才有权向第三人追偿。
追偿流程：
- 雇员选择赔偿方：雇员在受伤后，有权利选择是向造成损害的第三人请求赔偿，还是向雇主请求补偿。
- 雇主履行赔偿义务：如果雇员选择了向雇主请求补偿，雇主应依法履行其赔偿义务，确保雇员得到合理的补偿。
- 雇主向第三人追偿：在雇主履行了赔偿义务后，他有权向实际造成雇员伤害的第三人进行追偿，以追回其因赔偿雇员而支出的费用。
三、注意事项与实践指导
- 明确责任方：雇员在受伤后应尽快明确责任方，以便选择合适的赔偿请求对象，避免后续的法律纠纷。
- 合法合理赔偿：雇主在承担赔偿责任时，应确保赔偿的合法性和合理性，既保护雇员的权益，也避免自身陷入不必要的法律纠纷。
- 证据收集与保留：在追偿过程中，雇主应积极收集并妥善保留相关证据，如事故现场照片、医疗记录、证人证言等，以证明第三人的过错和自身的赔偿情况，为追偿提供有力的法律支持。
四、结论与建议
综上所述，当公司雇员因第三人原因在雇佣活动中受伤时，雇主在承担赔偿责任后，有权向第三人追偿。这一规定不仅体现了法律的公平原则，也确保了各方当事人的合法权益得到有效保障。
因此，对于公司雇员被第三人侵权受伤的情况，雇主在履行了赔偿义务后，应积极考虑向第三人追偿，以维护自身的合法权益。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。