在司法实践中，检察院作为法律监督机关，有权对法院的判决、裁定进行监督。当检察院认为法院的判决、裁定在法律适用上存在错误时，它有权直接决定提起抗诉，而无需依赖于当事人是否以法律适用错误为由提出申请。这是因为检察院的职责之一就是确保法律的正确实施，维护司法公正，当发现法院判决可能存在法律适用错误时，它应当主动行使监督权，以纠正错误判决，保障当事人的合法权益。
检察院抗诉的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》等相关法律法规。根据这些规定，检察院在认为法院的判决、裁定确有错误时，可以向上一级法院提出抗诉。抗诉的程序通常包括审查判决、裁定，认为有错误的，制作抗诉书，并报送上一级检察院审查决定。上一级检察院认为抗诉正确的，应当支持抗诉；认为抗诉不当的，应当向同级法院撤回抗诉，并且通知下级检察院。
虽然当事人没有以法律适用错误为由申请抗诉，但这并不影响检察院基于其法律监督职责，主动发现并纠正法院判决中的法律适用错误。检察院的抗诉权是独立的，不依赖于当事人的申请。因此，即使当事人未提出相关申请，检察院在审查过程中发现法律适用错误，仍有权决定提起抗诉。
检察院以法律适用错误为由提起抗诉，对于维护司法公正、保障当事人合法权益具有重要意义。一方面，它有助于纠正法院判决中的错误，确保法律的正确实施；另一方面，它也能增强当事人对司法制度的信任，促进司法公正的实现。同时，这也是检察院履行其法律监督职责、维护司法权威的重要体现。
综上所述，检察院在认为法院的判决、裁定存在法律适用错误时，有权直接决定提起抗诉，而无需依赖于当事人的申请。这是检察院作为法律监督机关的重要职责之一，也是维护司法公正、保障当事人合法权益的重要手段。如果您在法律适用方面有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。