检察院在认为生效判决存在事实认定错误时，确实有权依法提出抗诉。这是检察院法律监督职能的重要体现，旨在确保法律的正确实施，维护司法公正和当事人的合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、抗诉的法律依据
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百二十八条的规定：“地方各级人民检察院认为本级人民法院第一审的判决、裁定确有错误的时候，应当向上一级人民法院提出抗诉。”这一条款明确赋予了检察院在认为判决、裁定存在错误时提出抗诉的权力。同时，在民事诉讼中，检察院也有权对认为确有错误的判决、裁定提出抗诉，这主要依据的是《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释。
二、事实认定错误作为抗诉的情形
在刑事诉讼中，检察院提出抗诉的情形包括但不限于以下几种与事实认定错误相关的情形：
有新的证据证明原判决、裁定认定事实错误：如果案件审理后发现了新的关键证据，这些证据足以推翻原判决中认定的事实，检察院可以提出抗诉。
据以定罪量刑的证据不确实、不充分或证明案件事实的主要证据之间存在矛盾：例如，主要证人证言存在重大矛盾，或者物证、书证等关键证据无法相互印证，导致案件事实不清，检察院也可以提出抗诉。
三、抗诉的程序与效果
程序：检察院提出抗诉，通常需要通过原审人民法院提出抗诉书，并将抗诉书抄送上一级人民检察院。上级人民检察院若认为抗诉不当，可向同级人民法院撤回抗诉，并通知下级人民检察院。
效果：抗诉一旦提出，将引发二审程序或再审程序，对原判决、裁定进行重新审理。通过抗诉，检察院可以纠正错误的判决、裁定，维护司法公正和当事人的合法权益。
四、实际案例与法律建议
在实际操作中，检察院提出抗诉的案例并不罕见。例如，在某些案件中，检察院可能发现原判决在事实认定上存在明显错误，如将关键证据遗漏或错误解读，导致判决结果不公。在这种情况下，检察院会依法提出抗诉，要求法院重新审理案件。
法律建议：如果您认为某个生效判决在事实认定上存在错误，且该错误可能影响了判决的公正性，您可以向检察院提出申诉或控告。检察院在审查后，如果认为确实存在错误，会依法提出抗诉。同时，您也可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和策略，以便更好地维护自己的合法权益。
综上所述，检察院在认为生效判决存在事实认定错误时，有权依法提出抗诉。这是检察院履行法律监督职责的重要方式，有助于确保法律的正确实施和司法的公正性。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。