留置看护人员若因治安问题不予行政处罚，是否会被开除需视具体情况而定，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：

1. 单位规章制度角度：

   • 如果留置看护人员所在的单位有明确的规章制度，规定对于涉及治安问题但不予行政处罚的人员应给予何种处分，那么应依据该规章制度执行。例如，某些单位可能规定，即使不予行政处罚，但涉及治安问题的行为仍属于严重违反单位纪律，可能面临开除等处分。
   • 如果单位规章制度中没有明确规定，或者规定较为模糊，那么单位在处理时应更加谨慎，综合考虑行为的性质、情节、影响以及留置看护人员的工作表现等因素。

2. 行为性质与情节角度：

   • 留置看护人员若因治安问题被调查，但最终不予行政处罚，说明其行为可能尚未达到需要行政处罚的程度，或者存在其他免除处罚的情形。此时，单位应评估该行为的性质与情节，判断其是否对留置看护工作造成了严重影响。
   • 如果行为性质较轻，情节不严重，且未对留置看护工作造成实质性影响，那么单位可能不会给予开除等严厉处分，而是采取警告、记过等较轻的处分方式。

3. 法律后果与单位责任角度：

   • 单位在处理留置看护人员时，应确保处理决定符合法律法规的规定，避免因处理不当而引发法律纠纷。例如，如果单位随意开除留置看护人员，而该人员并无严重违反单位规章制度或法律法规的行为，那么单位可能面临违法解除劳动合同的法律责任。
   • 同时，单位也应考虑自身的社会责任和形象，避免因处理不当而损害单位的声誉和公信力。

4. 留置看护人员个人情况角度：

   • 单位在处理留置看护人员时，还应考虑其个人情况，如工作表现、家庭状况、健康状况等。如果留置看护人员平时工作表现良好，且此次治安问题属于偶发事件，那么单位在处理时应更加人性化，给予其改过自新的机会。

综上所述，留置看护人员若因治安问题不予行政处罚，是否会被开除需综合考虑单位规章制度、行为性质与情节、法律后果与单位责任以及留置看护人员个人情况等多个因素。因此，无法直接给出是否会被开除的明确结论。如有具体疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。