当餐饮店员工提出辞职而老板不回消息时，你可以按照以下步骤来处理这个问题，以确保你的权益得到妥善保护：

一、明确法律依据与辞职流程

首先，你需要了解《中华人民共和国劳动合同法》中关于辞职的相关规定。根据这部法律，劳动者享有单方解除劳动合同的权利。对于正式员工，你需要提前三十日以书面形式通知用人单位；如果你是试用期员工，则需提前三日通知。

请务必仔细查阅你的劳动合同以及餐饮店的规章制度，确认辞职条款，并按照规定以书面形式向老板或人力资源部门提交辞职信。在辞职信中，明确表达你的辞职意愿以及预计的离职日期。这一步是法律赋予你的权利，无需老板批准即可生效。

二、尝试沟通与协商

在提交书面辞职后，建议你与老板进行平和的沟通，解释你辞职的原因，并尝试解决可能存在的误解或分歧。如果老板因为人员短缺等原因不批准你的辞职，你可以提出合理的过渡方案，比如协助招聘新员工、培训新员工以及做好工作交接等，以争取老板的理解和支持。

三、向上级反映与书面再次通知

如果与老板的沟通没有结果，你可以尝试向餐饮店的更高管理层（如经理、股东等）反映情况，请求他们协调处理。同时，建议你通过邮政特快专递（EMS）等可靠方式再次向老板或人力资源部门发送书面辞职信，并保留寄送凭证作为证据。这样做可以证明自己已经履行了法定的通知义务。

四、寻求劳动部门的帮助

如果餐饮店仍然拒绝办理你的离职手续，你可以向当地的劳动监察部门投诉。在投诉时，提交包括劳动合同、辞职信、工资条、工作证等在内的相关证据。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并责令其依法处理你的辞职申请。

五、申请劳动仲裁

如果问题仍然没有得到解决，你可以向当地的劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，要求裁决餐饮店批准你的辞职并办理相关离职手续。在仲裁过程中，你需要提供充分的证据来支持自己的主张。仲裁委员会将依据法律法规作出裁决。

六、注意事项

在整个过程中，有几点需要特别注意：

1. 保留证据：妥善保存所有与辞职相关的书面材料、沟通记录以及寄送凭证等。这些证据在后续的处理过程中可能会起到关键作用。
2. 避免过激行为：保持冷静和理性，避免采取任何可能影响自己合法权益的过激行为。
3. 关注工资权益：如果用人单位因此克扣你的工资，你同样有权向劳动行政部门投诉或提起劳动仲裁来维护自己的权益。

综上所述，面对老板不回消息的情况，你应该依法行事，通过沟通、协商、投诉以及仲裁等途径来有效维护自己的合法权益。