可以起诉，但需要先与邻居进行协商，协商不成再提起诉讼。下面我详细为你解释一下：

首先，从法律角度来看，邻居养的鸡每天半夜叫，如果构成了噪音污染，并且对你的正常生活造成了影响，那么这种行为可能构成侵权。根据《中华人民共和国环境噪声污染防治法》的相关规定，任何单位和个人都有权向环境保护行政主管部门或者其它有关部门反映造成环境噪声污染的违法行为，并有权要求这些部门对其进行处理。

在实际操作中，你可以先尝试与邻居进行友好协商，说明鸡叫对你的生活造成了影响，希望邻居能够采取措施减少噪音。如果协商无果，你可以考虑向当地的环保部门或者居委会等有关部门进行投诉，要求他们介入处理。

如果投诉后问题仍未得到解决，且噪音确实对你的生活造成了严重干扰，那么你可以考虑向法院提起诉讼，要求邻居停止侵权行为并赔偿损失。在诉讼过程中，你需要提供充分的证据来证明邻居的鸡叫构成了噪音污染，并且对你的生活造成了实际影响。

总之，虽然你可以起诉，但诉讼并不是解决这类问题的最佳方式。在提起诉讼之前，建议先尝试通过协商和投诉等更温和的方式解决问题。如果确实需要诉讼，也请务必咨询专业律师（比如我）以获取更具体的法律建议和指导。