您好，关于私生子的户口上到亲生父亲名下后是否具有法律继承权的问题，我可以给您一个清晰、详细且有深度的解答。

首先，我们需要明确的是，私生子，即非婚生子女，在法律上与婚生子女享有同等的权利。这是由《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条明确规定的：“非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。”这一法律原则确保了非婚生子女在包括继承权在内的各方面都能得到平等的对待。

接下来，我们来看具体的继承权问题。《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条对遗产的继承顺序做了明确规定。其中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。这里所说的“子女”，明确包括了婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。这意味着，非婚生子女在继承权上与婚生子女是完全平等的，他们都有权按照法律规定的顺序继承遗产。

因此，回到您的问题上来，私生子的户口上到亲生父亲名下后，他是具有法律继承权的。无论他的出生是否是在婚姻关系内，他都与亲生父亲存在直系血亲关系，因此在法律上应当一视同仁，享有与婚生子女同等的继承权。这一点是受到法律严格保护的，任何人都不得加以危害和歧视。

综上所述，私生子的户口上到亲生父亲名下后，他具有完全的法律继承权，这是由《中华人民共和国民法典》明确规定的，也是受到法律严格保护的。希望这个解答能够对您有所帮助。