核心结论：公司未与员工签订劳动合同，且发现员工有违法行为，公司仍应因未签订劳动合同的行为承担法律责任，员工违法行为需另作处理。

详细分析：

1. 公司未签订劳动合同的法律责任：

   • 根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若公司自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条第一款及《劳动合同法实施条例》第六条，公司应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 若公司自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为公司与劳动者已订立无固定期限劳动合同，并应立即与劳动者补订书面劳动合同，同时自订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资（《劳动合同法》第八十二条第二款及《劳动合同法实施条例》第七条）。

2. 员工违法行为的处理：

   • 员工违法行为需根据具体违法情况，由公司依据内部规章制度、劳动合同约定或相关法律法规进行处理。这可能包括但不限于警告、罚款、解除劳动合同等。
   • 若员工违法行为构成犯罪，公司应依法向公安机关报案，由司法机关追究其刑事责任。

3. 公司应对建议：

   • 公司应尽快与员工补签劳动合同，以符合法律法规要求，并避免可能的法律风险和经济损失。
   • 对于员工的违法行为，公司应依法依规进行处理，并确保处理过程的合法性和公正性。
   • 公司应加强内部管理，建立健全的规章制度，明确员工的行为规范和违法行为的处理机制。

总结：公司未与员工签订劳动合同是违法行为，需承担相应的法律责任。员工违法行为需另作处理，公司应依法依规进行。建议公司尽快补签劳动合同，加强内部管理，确保合法合规运营。如有进一步法律问题，可直接向我咨询。