检察机关立案监督不支持时，申请人可以通过向上一级检察机关申请复议来寻求救济。具体分析如下：
一. 申请复议的法律依据
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十一条规定：“人民检察院认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查的，或者被害人认为公安机关对应当立案侦查的案件而不立案侦查，向人民检察院提出的，人民检察院应当要求公安机关说明不立案的理由。人民检察院认为公安机关不立案理由不能成立的，应当通知公安机关立案，公安机关接到通知后应当立案”。此条款说明了检察机关对公安机关立案监督的权力，但并未直接规定监督不支持时的救济途径。
- 然而，在实际操作中，如果检察机关对立案监督的申请不予支持，申请人通常可以向上一级检察机关申请复议，这是基于检察机关内部监督机制和复议程序的一般原则。
二. 申请复议的具体步骤
- 提交复议申请：申请人应当向上一级检察机关提交复议申请，明确说明复议的请求、事实和理由。
- 复议审查：上一级检察机关将对复议申请进行审查，包括审查原检察机关的立案监督决定是否正确，以及是否有新的证据或情况需要考虑。
- 复议决定：上一级检察机关将根据审查结果作出复议决定，可能支持或驳回申请人的复议请求。
三. 复议期间的注意事项
- 在复议期间，申请人应当积极配合检察机关的审查工作，提供必要的证据和材料。
- 同时，申请人也应当关注复议的进展和结果，如有需要，可以及时与检察机关沟通并了解复议的最新情况。
我建议，在申请复议前，申请人应当充分准备相关证据和材料，以支持自己的复议请求。如果复议仍然不予支持，申请人还可以考虑通过其他法律途径来维护自己的合法权益，如向人民代表大会常务委员会提出申诉等。如有进一步需要，您可以继续咨询我。