当夫妻共同借债而一方死亡时，起诉的对象和责任分配涉及多个法律主体。以下是对这一问题的详细解答：

一、生存一方的责任

夫妻共同债务是由夫妻双方共同承担的。因此，即使其中一方死亡，生存的另一方仍然有义务对夫妻共同债务进行清偿。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，对于夫妻共同债务，配偶有责任用夫妻共同财产来偿还。所以，在起诉时，债权人可以将生存的一方作为被告提起诉讼，要求其承担剩余债务的全部或部分偿还责任。

二、继承人的责任

1. 有遗产的情况：

   • 如果死亡一方留有遗产，其继承人在继承遗产的范围内对债务承担清偿责任。这意味着继承人需以所继承遗产的价值为限，来偿还夫妻共同债务中属于已故配偶应承担的份额。
   • 债权人可以将继承人列为共同被告，要求他们在继承遗产的范围内承担相应的债务清偿责任。

2. 放弃继承的情况：

   • 如果继承人选择放弃继承，则无需对已故被继承人的债务承担清偿责任。这是因为在法律上，放弃继承权即意味着放弃了与被继承人财产相关的一切权利和义务。

三、债权人的策略

为了最大限度保障自身债权的实现，债权人通常会采取以下策略：

• 同时起诉生存一方和继承人：将生存的一方和有遗产的继承人一同列为被告提起诉讼，这样可以确保在多个可能的还款来源之间寻求最全面的债务清偿。
• 收集充分证据：在起诉前，债权人需要收集充分的证据来证明债务的存在和具体金额，如借条、转账记录等。这些证据对于法院判断债务的真实性和具体数额至关重要。

四、专业咨询的重要性

处理夫妻共同债务一方死亡后的法律问题可能涉及复杂的法律程序和规定。因此，建议债权人或相关当事人尽快咨询专业的律师或法律顾问。他们可以根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助，确保权益得到妥善保护。

综上所述，当夫妻共同债务中的一方死亡时，生存的一方仍需承担全部债务的清偿责任，而继承人则在继承遗产的范围内对债务承担有限责任。债权人应综合考虑各方情况，制定合适的法律策略来追讨债务，并在此过程中寻求专业法律支持以确保自身权益。