劳务派遣公司不可以派遣其他公司的员工。

劳务派遣作为一种特殊的用工形式，其业务经营受到法律的严格规范。根据《中华人民共和国劳动合同法》的明确规定，仅有依法设立的劳务派遣公司，在获得劳动行政部门的行政许可并办理相应的公司登记后，才有资格从事劳务派遣业务。这一规定旨在确保劳务派遣活动的合法性、规范性和专业性，从而全面保障被派遣劳动者的合法权益。

对于已经与其他公司建立劳动关系的员工，他们属于该公司的正式员工，其劳动关系受该公司管理，劳务派遣公司无权也无法进行派遣。如果劳务派遣公司擅自派遣其他公司的员工，将构成违法行为，可能面临劳动行政部门的责令停止违法行为、没收违法所得、罚款等行政处罚措施，并可能引发民事赔偿责任。

因此，劳务派遣公司应严格遵守法律法规，不得擅自派遣其他公司的员工。如有劳务派遣需求，应依法设立劳务派遣公司，并取得相关的经营许可，确保劳务派遣活动的合法性和规范性。同时，用工单位也应选择合法的劳务派遣公司进行合作，以保障自身的合法权益和避免潜在的法律风险。