未成年在网吧上网主要由文化和旅游部门（文化行政部门）以及公安部门进行管理。

根据《中华人民共和国未成年人保护法》以及《互联网上网服务营业场所管理条例》的相关规定，网吧作为互联网上网服务营业场所，不得接纳未成年人进入。若网吧违反了这一规定，文化和旅游部门（文化行政部门）将有权对其进行警告、罚款，甚至责令停业整顿或吊销《网络文化经营许可证》等行政处罚。同时，公安部门也会配合文化和旅游部门进行协同监管，对于违规行为进行查处。

此外，近年来电竞酒店作为一个新兴业态，也涉及到未成年人保护的问题。文化和旅游部、公安部已联合出台了《文化和旅游部 公安部关于加强电竞酒店管理中未成年人保护工作的通知》，明确要求电竞酒店不得接待未成年人，并建立了相应的监管制度。这一通知也进一步强化了对于未成年人在网吧及电竞酒店等场所上网的管理和保护。

综上所述，未成年在网吧上网的问题主要由文化和旅游部门以及公安部门共同管理，以确保未成年人的合法权益得到切实保护。