当对方全责却没有保险时，您确实可以尝试通过自己的保险来支付相关费用，但具体处理方式会根据您的保险合同条款以及实际情况有所不同。以下是一些详细的解答和建议：

首先，交强险是强制保险，如果对方未投保交强险，那么他本应在交强险范围内承担的赔偿责任就需要由他个人来承担。如果对方没有能力赔偿，您可以从自己的交强险无责赔付部分获得一定的赔偿。这部分赔偿通常用于覆盖您的车辆损失或人身伤害的一部分费用。

其次，如果您购买了车损险或其他商业险种，并且符合保险条款中的理赔情形，那么在扣除对方应承担的赔偿部分后，您可以向自己的保险公司申请理赔。需要注意的是，理赔金额可能会扣除对方应承担的部分以及相应的免赔额。因此，在申请理赔前，建议您仔细阅读保险合同条款，了解具体的理赔规定。

另外，如果您选择通过自己的保险来支付费用，那么您的保险公司可能会在交强险范围内先行赔付对方的财产损失（通常限额为2000元）。对于超出交强险范围的部分，如果您投保了商业三者险并且在保险范围内，保险公司会按照约定进行赔付。但是，之后您可能需要通过法律途径向对方追偿，让其承担应承担的费用。这个过程可能会比较复杂，因此建议您保留好相关证据，如事故现场照片、交警处理文书等，以便后续处理。

最后，需要提醒的是，如果您的保险公司为您支付了相关费用，那么您的保费可能会因此上涨。此外，理赔过程中可能会涉及一些繁琐的手续和时间成本。因此，在处理这种情况时，建议您及时与保险公司沟通，详细了解相关事宜，并权衡利弊后做出决策。

总之，当对方全责却没有保险时，您可以尝试通过自己的保险来支付相关费用，但具体处理方式会根据您的保险合同条款以及实际情况有所不同。建议您在处理过程中保持冷静，仔细阅读保险合同条款，与保险公司及时沟通，并保留好相关证据以便后续处理。