当面对不履行执行和解协议的情况时，申请执行人可以提起诉讼的范围主要围绕执行和解协议本身及其履行情况。以下是对此问题的详细解答：
结论前置：
申请执行人在被执行人不履行执行和解协议时，可以选择向法院提起诉讼，要求确认和解协议的效力、履行情况，或者要求被执行人承担违约责任等，具体诉讼范围取决于协议内容和实际情况。
详细分析：
执行和解协议的性质：
- 执行和解协议是双方在执行过程中自愿达成的，对原生效法律文书所确定的权利义务关系进行变更或重新约定的协议。
- 它本身并不直接具有强制执行力，但一旦达成并生效，双方应诚信履行。
提起诉讼的依据：
- 根据《最高人民法院关于执行和解若干问题的规定》，申请执行人在被执行人一方不履行执行和解协议时，有权就履行执行和解协议向执行法院提起诉讼。
诉讼范围的具体内容：
- 确认和解协议的效力：如果双方对和解协议的效力存在争议，申请执行人可以提起诉讼，请求法院确认协议的效力。
- 要求履行和解协议：申请执行人可以要求被执行人按照和解协议的约定履行义务，包括支付款项、交付财物等。
- 承担违约责任：如果和解协议中明确约定了违约责任，申请执行人可以提起诉讼，要求被执行人承担相应的违约责任。
特殊情形的处理：
- 如果和解协议已经过公证并赋予强制执行力，申请执行人可以直接向法院申请强制执行，而无需提起诉讼。
- 在提起诉讼时，申请执行人应注意诉讼时效的问题，避免因超过法定时效而导致胜诉权的丧失。
实际案例说明：
- 假设甲与乙存在债务纠纷，法院判决乙应向甲偿还100万元。在执行过程中，双方达成执行和解协议，约定乙分三期偿还甲120万元。然而，乙仅支付了第一期款项后违约。此时，甲可以向法院提起诉讼，要求乙按照和解协议的约定支付剩余的款项，并可能要求乙承担违约责任。
综合建议：
在面对不履行执行和解协议的情况时，申请执行人应首先仔细研究协议的具体内容，了解自己的权利和义务。然后，根据实际情况和需求，选择合适的法律途径来维护自己的合法权益。如果协议中有明确、具体且合法的约定，申请执行人可以就执行和解协议向法院提起诉讼；如果协议未明确约定或约定不明确，申请执行人也可以考虑申请恢复执行原生效法律文书。在任何情况下，申请执行人都应关注诉讼时效的问题，并咨询专业律师以获取更详细的法律指导和帮助。