当雇佣的司机在从事雇佣活动中受伤且被认定为全责时，雇主的赔偿责任及处理方式确实需要综合考虑多个法律因素。以下是对此问题的详细解答：
一、法律责任与赔偿原则
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十二条，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方（即司机）因劳务受到损害的，双方需根据各自的过错承担相应的责任。
- 同时，《最高人民法院关于审理人身损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》也规定，雇员在从事雇佣活动中遭受人身损害，雇主应当承担赔偿责任；若雇员因故意或者重大过失致人损害，应与雇主承担连带赔偿责任，雇主承担连带赔偿责任的，可以向雇员追偿。
赔偿原则：
- 在司机全责的情况下，虽然司机存在重大过错，但雇主通常仍需承担一定的赔偿责任，具体责任比例需根据实际情况和法律规定综合判断。
- 若司机存在故意或重大过失，雇主在承担赔偿责任后，有权向司机追偿。
二、赔偿范围与计算
赔偿范围通常包括但不限于以下几项：
- 医疗费：涵盖挂号费、检查费、治疗费、药费、住院费等，需以医院出具的正规收费凭证为准。
- 误工费：根据司机的误工时间和收入状况确定。有固定收入的，按实际减少的收入计算；无固定收入的，参照最近三年的平均收入或当地相同行业平均工资计算。
- 护理费：根据护理人员的收入状况和护理人数、护理期限确定，可参照误工费的规定或当地护工劳务报酬标准计算。
- 交通费：赔偿司机及其必要的陪护人员因就医或转院治疗实际发生的交通费用，需以正式票据为凭。
- 营养费：根据司机的伤残情况，参照医疗机构的意见确定。
- 残疾赔偿金（若构成残疾）：根据司机丧失劳动能力程度或伤残等级，按照受诉法院所在地上一年度居民人均可支配收入标准计算，年限根据年龄调整。
- 精神损害抚慰金（若造成精神损害）：由法院根据侵权人的过错程度、侵权行为后果等因素确定。
- 其他相关费用：如住院伙食补贴、住宿费用等，根据实际情况确定。
三、赔偿程序与建议
赔偿程序：
- 首先，应由保险公司在保险限额内进行赔偿。
- 超出保险限额的部分，由雇主和司机根据各自的责任比例承担。
- 双方应积极配合相关部门的调查和处理工作。
建议与注意事项：
- 明确责任：雇主和司机应在雇佣合同中明确约定事故责任的承担方式，以避免后续纠纷。
- 购买保险：雇主应为司机购买相应的保险，如交强险、商业险等，以减轻事故发生时的经济负担。
- 及时处理：事故发生后，雇主和司机应及时报警、联系保险公司，并按照法定程序处理赔偿事宜。
- 保留证据：双方应妥善保留与事故相关的所有证据，如事故现场照片、医疗记录、费用票据等，以便后续赔偿时使用。
综上所述，当雇佣的司机在从事雇佣活动中受伤且被认定为全责时，雇主需根据法律规定和实际情况承担相应的赔偿责任。同时，双方应明确责任、购买保险、及时处理赔偿事宜，并妥善保留相关证据，以确保各自的权益得到妥善保障。