关于派遣工在工作时间内受伤住院费由谁承担的问题，我可以给出以下解答：

结论：派遣工在工作时间内受伤，住院费用的承担主体通常根据是否缴纳工伤保险以及用工单位是否存在过错来确定。

1. 若派遣单位为派遣工缴纳了工伤保险：

   • 住院费用一般由工伤保险基金支付。在费用支付到位前，派遣单位可先行垫付。

2. 若派遣单位未为派遣工缴纳工伤保险：

   • 派遣单位需承担赔偿责任，有义务垫付住院费。

3. 若用工单位对工伤存在过错：

   • 用工单位需与派遣单位承担连带赔偿责任，也可能需参与住院费垫付。

法律背景：

• 根据《工伤保险条例》等法律，劳务派遣单位有义务为派遣员工缴纳工伤保险。若未缴纳，不仅需承担费用，还可能受到劳动行政部门的处罚。
• 用工单位若对派遣员工工伤存在过错，如劳动安全设施不合规等，也需承担相应的补充责任。

建议：

• 派遣工受伤后，应尽快申请工伤认定，确定责任方后依法索赔。
• 若协商不成，可通过仲裁、诉讼等法律途径维权，主张医疗费、误工费等合理费用。

希望以上解答能对您有所帮助。若您还有其他法律问题，欢迎随时向我咨询。