调解书生效后对方不履行，执行阶段的律师费不可以直接申请执行。具体分析如下：
一. 调解书生效后对方不履行的后果
- 调解书生效后，即具有法律效力，必须履行。如一方拒绝履行，对方当事人有权向人民法院申请强制执行。
二. 执行阶段的律师费是否可直接申请执行
- 执行内容限定：根据《民事诉讼法》的相关规定，执行的内容必须是生效法律文书所确定的义务。调解书作为生效法律文书，其确定的义务可以直接申请执行。但执行阶段的律师费并非调解书直接确定的义务，因此不能直接申请执行。
- 律师费的处理方式：若调解书中未明确约定律师费的承担，且双方在执行阶段就律师费产生争议，应通过诉讼或再次调解的方式解决，而不能直接通过执行程序主张。
三. 实际操作建议
- 如遇对方不履行调解书的情况，应先就调解书确定的义务向人民法院申请强制执行。
- 如就执行阶段的律师费产生争议，建议通过诉讼或调解的方式明确律师费的承担，然后再根据新的生效法律文书申请执行。
我建议，在执行过程中，如遇到任何关于执行内容或程序的疑问，应及时向人民法院咨询或寻求专业律师的帮助，以确保执行程序的顺利进行。如有进一步需要，您可以继续咨询我。