结论前置：欠信用卡的钱，如果属于正常的民事欠款且没有涉及刑事犯罪，通常不会被上网追逃。但如果涉嫌信用卡诈骗等刑事犯罪，且经公安机关立案并在逃，则可能会被网上追逃。
详细分析：
正常的民事欠款情况：
- 信用卡欠款在多数情况下是持卡人因各种原因未能按时足额还款，这构成了一种民事债务关系。银行会首先通过短信、电话、邮件等方式提醒持卡人还款，若逾期时间较长，可能会采取进一步的催收措施，甚至提起民事诉讼来要求持卡人还款。
- 在此过程中，如果持卡人愿意与银行协商并努力偿还欠款，通常不会面临网上追逃的情况。
可能涉及刑事犯罪的情形：
- 如果持卡人的行为构成信用卡诈骗罪，如恶意透支（即持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或期限透支，并经发卡银行两次催收后超过三个月仍不归还，且透支金额达到一定数额），则可能会面临刑事指控。
- 一旦公安机关认定持卡人的行为构成信用卡诈骗罪，并确定其为在逃人员，就会通过公安内部网络系统发布追逃信息，进行网上追逃。
法律建议：
- 对于持卡人而言，最重要的是合理使用信用卡，确保按时足额还款，避免产生逾期和欠款。
- 如果确实面临还款困难，应及时与银行沟通，寻求协商还款的可能性，以避免法律纠纷和信用损失。
- 同时，也应警惕信用卡诈骗行为，确保自己的信用卡使用合法合规，避免触犯刑法。
综上所述，欠信用卡的钱本身不会直接导致被网上追逃，但如果涉嫌信用卡诈骗犯罪且逃避侦查，就有可能面临这样的风险。因此，持卡人应合理使用信用卡，及时偿还欠款，并遵守相关法律法规，以避免潜在的法律风险。