当行政处罚案件立案后调查发现证据不足时，行政机关和当事人可以采取不同的应对措施。以下是详细的解答：
行政机关角度
补充调查取证：
- 适用情形：在作出行政处罚决定前，行政机关发现现有证据不足以证明违法事实成立或不足以准确认定违法行为的性质、情节等关键要素。
- 具体做法：行政机关应进一步收集与案件相关的书证、物证、视听资料、证人证言、当事人的陈述、鉴定结论、勘验笔录和现场笔录等证据。例如，通过向相关当事人询问、调取监控录像、聘请专业机构进行鉴定等方式补充证据。
- 法律依据：《行政处罚法》第五十四条规定，行政机关在立案后，有权利和义务进行充分的调查取证工作，以确保事实清楚、证据确凿。
依法撤销案件或不予处罚：
- 适用情形：经过补充调查取证后，行政机关仍然无法收集到足够证据证明当事人存在违法行为，或根据现有证据不能排除合理怀疑。
- 具体做法：行政机关应依法撤销案件或作出不予行政处罚的决定，并及时告知当事人。
- 法律依据：《行政处罚法》第四十条规定，违法事实不清、证据不足的，不得给予行政处罚。
加强执法监督与培训：
- 内部监督：上级行政机关或专门的行政执法监督机构应对下级行政机关的行政处罚行为进行监督检查，发现证据不足等问题及时督促整改。
- 人员培训：加强对行政执法人员的业务培训，提高其证据意识和调查取证能力，确保在执法过程中能够收集到充分、有效的证据。
当事人角度
提出陈述申辩意见：
- 适用情形：当事人在收到行政处罚告知书后，认为行政机关认定的违法事实不清、证据不足。
- 具体做法：当事人应在规定的时间内向行政机关提出陈述申辩意见，详细说明自己对案件事实的看法以及认为证据不足的理由，并提供相应的线索或证据支持自己的观点。
- 法律依据：《行政处罚法》第四十五条规定，当事人有权进行陈述和申辩，行政机关必须充分听取当事人的意见。
申请听证（符合条件时）：
- 适用情形：行政机关拟作出较大数额罚款、没收较大数额违法所得、没收较大价值非法财物、降低资质等级、吊销许可证件、责令停产停业、责令关闭、限制从业等重大行政处罚决定，且当事人认为证据不足。
- 具体做法：当事人应在规定的时间内向行政机关提出听证申请，要求行政机关就案件的事实、证据和法律依据等进行公开听证。在听证过程中，当事人可以充分发表自己的意见，对行政机关提出的证据进行质证和辩论。
- 法律依据：《行政处罚法》第六十三条规定，行政机关拟作出重大行政处罚决定时，应当告知当事人有要求听证的权利。
提起行政复议或行政诉讼：
- 行政复议：当事人对行政处罚决定不服，认为证据不足时，可以在知道或应当知道该行政处罚决定之日起六十日内向上一级行政机关或法律、法规规定的行政机关提出行政复议申请。
- 行政诉讼：当事人也可以在知道或应当知道作出行政处罚决定之日起六个月内直接向人民法院提起行政诉讼。法院将对行政机关作出的行政处罚决定进行司法审查，包括证据的收集、审查和认定等方面。
- 法律依据：行政复议和行政诉讼的相关法律依据分别见于《行政复议法》和《行政诉讼法》。
综上所述，当行政处罚案件立案后调查发现证据不足时，行政机关应依法补充调查取证、撤销案件或不予处罚，并加强执法监督与培训；而当事人则可以提出陈述申辩意见、申请听证（符合条件时）以及提起行政复议或行政诉讼来维护自己的合法权益。