私家车运输建筑垃圾，城管确实有权进行处罚。以下是对此问题的详细解答：

法律依据

1. 《城市建筑垃圾管理规定》：

   • 第七条规定，处置建筑垃圾的单位，应当向城市人民政府市容环境卫生主管部门或综合行政执法部门提出申请，获得城市建筑垃圾处置核准后，方可处置。
   • 第十三条规定，施工单位不得将建筑垃圾交给个人或者未经核准从事建筑垃圾运输的单位运输。
   • 第二十二条第二款及第二十五条规定，施工单位将建筑垃圾交给个人或者未经核准从事建筑垃圾运输的单位处置的，由城市人民政府市容环境卫生主管部门责令限期改正，给予警告，并处以1万元以上10万元以下的罚款。

2. 《中华人民共和国道路交通安全法》：

   • 虽然该法主要规范道路交通行为，但若私家车在运输建筑垃圾过程中存在超载、未悬挂号牌或伪造号牌等违法行为，也将受到相应的处罚。

处罚情况

• 未经核准处置建筑垃圾：若私家车未经核准擅自运输建筑垃圾，城管部门有权责令限期改正，并给予警告及罚款。
• 将建筑垃圾交给未经核准的单位或个人运输：施工单位若将建筑垃圾交给私家车（即未经核准的单位或个人）运输，同样会受到城管部门的处罚。
• 道路交通违法行为：在运输过程中，若私家车存在超载、未悬挂号牌、伪造号牌等违法行为，还将受到公安机关交通管理部门的处罚。

结论与建议

• 结论：私家车运输建筑垃圾，若未经核准或存在其他违法行为，城管部门及公安机关交通管理部门均有权进行处罚。
• 建议：若需运输建筑垃圾，请务必向相关部门申请核准，并遵守相关法律法规及道路交通安全规定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。