事业单位不执行法定退休年龄规定是违法的，并可能导致一系列法律后果和管理问题。

一. 违法性分析

1. 法定退休年龄的明确规定：根据《国务院关于工人退休、退职的暂行办法》及后续相关政策调整，事业单位职工的退休年龄有明确的法定规定。男职工逐步延迟至六十三周岁，女职工则根据原退休年龄不同，分别逐步延迟至五十八周岁或五十五周岁。这些规定是具有法律效力的，必须履行。

2. 不执行的法律后果：如果事业单位不执行法定退休年龄规定，擅自延长或缩短职工的退休年龄，就构成了违法行为。这不仅可能损害职工的合法权益，如无法按时领取养老金、享受医疗保险等，还可能对单位的正常人事管理造成混乱，影响工作效率和职工积极性。

二. 可能产生的问题

1. 职工权益受损：职工达到法定退休年龄后，如果单位不为其办理退休手续，职工可能无法享受到应有的养老金待遇和医疗保险等社会保障。这将严重损害职工的合法权益，影响其生活质量。

2. 单位管理混乱：不执行法定退休年龄规定，可能导致单位人事管理混乱。例如，老职工占据岗位资源，影响年轻员工的晋升和发展；工作效率下降，影响单位的整体效能；人事数据不准确，给单位的管理和决策带来困难。

三. 应对措施与建议

1. 严格遵守法律规定：事业单位应严格遵守国家关于退休年龄的法律规定，确保职工在达到法定退休年龄时能够及时办理退休手续。

2. 加强人事管理：建立健全人事管理制度，明确退休手续办理流程，设立专人负责，确保退休工作的顺利进行。

3. 沟通与解释：加强与职工的沟通与解释工作，让职工了解退休政策的重要性和必要性，消除其顾虑和误解。

4. 依法处理违规行为：对于拒不执行法定退休年龄规定的单位或个人，应依法进行处理。如发出书面通知要求在规定时间内改正；若仍拒不改正，可通过劳动仲裁或提起诉讼等方式解决。

综上所述，事业单位不执行法定退休年龄规定是违法的，并可能导致一系列严重问题。因此，我建议事业单位应严格遵守法律规定，加强人事管理，确保退休工作的顺利进行。如有进一步需要，您可以继续咨询我。