父母不履行监护职责，特别是拒绝支付抚养费，将面临民事乃至刑事法律责任。具体分析如下：
一. 民事法律后果
支付抚养费义务：
- 法律依据：《中华人民共和国民法典》第一千零六十七条明确规定，父母不履行抚养义务的，未成年子女或者不能独立生活的成年子女，有要求父母给付抚养费的权利。这意味着，父母必须承担抚养子女的经济责任，包括但不限于生活费、教育费、医疗费等。
- 实施措施：若父母拒绝支付抚养费，子女或其法定代理人可以向人民法院提起诉讼，要求父母支付相应的抚养费。法院将综合考虑子女的实际需要、父母的负担能力以及当地的生活水平，来确定抚养费的数额和支付方式。
监护权变更可能性：
- 法律依据：《中华人民共和国民法典》第三十九条指出，如果监护人不履行监护职责或侵害被监护人的合法权益，人民法院可以根据有关个人或组织的申请，撤销其监护人资格，并依法指定新的监护人。
- 实际影响：这意味着，如果父母严重不履行监护职责，如长期遗弃、虐待子女或对子女的生活和教育需求严重忽视，他们的监护权可能会被撤销，并由法院指定新的监护人来照顾子女。
二. 刑事法律后果
- 构成遗弃罪：
- 法律依据：《中华人民共和国刑法》第二百六十一条规定，对于年老、年幼、患病或其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，且情节恶劣的，将面临五年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑事处罚。
- 具体情形：如果父母故意遗弃子女，导致子女生命健康受到严重威胁，或因遗弃行为造成子女重伤、死亡等严重后果，即构成遗弃罪，必须承担相应的刑事责任。
我建议：父母应充分认识到抚养子女的法律责任与义务，积极履行监护职责和支付抚养费的义务。如果因特殊原因无法履行，应及时寻求法律援助，通过合法途径解决抚养问题，避免引发不必要的法律纠纷和责任承担。同时，我也希望子女能够依法维护自己的合法权益，必要时向法院提起诉讼或申请监护权变更。如有进一步需要，您可以继续咨询我。