针对“招标人与中标人长达半年不签订合同，监督部门如何处理”的问题，以下是我给出的详细解答：
首先，根据《中华人民共和国招标投标法》的相关规定，招标人和中标人应当自中标通知书发出之日起三十日内，按照招标文件和中标人的投标文件订立书面合同。如果招标人迟迟不与中标人签订合同，这明显违反了法律的规定。
在这种情况下，有关行政监督部门应当介入处理。具体来说，监督部门可以采取以下措施：
责令改正：监督部门可以首先责令招标人立即与中标人签订合同，以履行其法律义务。这是最直接且有效的处理方式，旨在确保双方按照招标投标的规则和法律要求，尽快完成合同签订。
处以罚款：如果招标人无正当理由拒不签订合同，监督部门可以依法对招标人处以罚款。根据相关规定，罚款的金额可以是中标项目金额的5%以上10%以下。这样的处罚旨在对招标人的违约行为进行经济制裁，以儆效尤。
追究法律责任：除了上述行政措施外，如果招标人的行为构成了严重的违约或违法行为，监督部门还可以依法追究其法律责任。这可能包括但不限于民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任。
此外，值得注意的是，中标通知书发出后，由于任何一方无故不签订具体合同的，都构成缔约过失责任。这意味着，不仅是招标人，如果中标人也无故不签订合同，同样需要承担相应的法律责任。
综上所述，当招标人与中标人长达半年不签订合同时，监督部门应当积极介入，采取责令改正、处以罚款以及追究法律责任等措施，以确保招标投标活动的合法性和公正性。同时，也提醒所有参与招标投标活动的当事人，应当严格遵守相关法律法规和规定，诚信履约，共同维护良好的市场秩序。