关于“合同履行期间跨越新老制度怎么执行”的问题，这确实是一个涉及合同法律适用和制度衔接的复杂问题。以下是我根据相关法律知识和实践经验给出的详细解答：
一、核心结论
合同履行期间跨越新老制度时，应遵循“法不溯及既往”的基本原则，同时考虑合同双方的约定、新老制度的具体内容以及相关法律法规的规定，综合判断合同的执行方式。
二、详细分析
法不溯及既往原则：
- 这一原则是指新法对其生效前的行为不具有约束力。因此，在合同履行期间跨越新老制度时，对于合同生效前已经发生的行为，一般应适用旧制度；对于合同生效后发生的行为，则应适用新制度。
合同双方的约定：
- 合同是双方意思表示一致的产物。如果合同双方在签订合同时已经预见到可能存在的制度变更，并在合同中明确约定了应对方式，那么应按照合同的约定执行。
新老制度的具体内容：
- 需要仔细比较新老制度的具体内容，分析它们之间的差异以及对合同履行可能产生的影响。如果新制度对合同履行没有实质性影响，或者影响较小，那么可以继续按照原合同执行；如果新制度对合同履行产生了重大影响，那么可能需要双方协商调整合同内容，或者按照新制度的要求执行。
相关法律法规的规定：
- 在某些情况下，法律法规可能会对合同履行期间跨越新老制度的情况作出特别规定。这些规定可能涉及合同的效力、履行方式、争议解决等方面。因此，在处理这类问题时，应特别注意相关法律法规的规定。
三、实际操作建议
查阅合同及相关法律法规：
- 首先，应仔细查阅合同内容，了解双方的权利义务以及合同履行的具体要求。同时，也应查阅相关法律法规，了解新老制度的具体内容以及它们对合同履行的影响。
与对方协商：
- 如果合同履行受到新老制度变更的影响，应及时与对方进行沟通协商，共同商讨应对方案。通过协商，可以明确双方的责任和义务，避免产生不必要的纠纷。
寻求专业法律意见：
- 在处理这类复杂问题时，建议寻求专业律师的法律意见。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议，帮助双方更好地解决合同履行中的问题。
综上所述，合同履行期间跨越新老制度时，应综合考虑多种因素，包括法不溯及既往原则、合同双方的约定、新老制度的具体内容以及相关法律法规的规定。通过仔细查阅合同及相关法律法规、与对方协商以及寻求专业法律意见等方式，可以更好地解决这类问题。如果你在这方面有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。