针对您提出的“总公司与分公司起诉连带能否直接判补充”的问题，我首先给出明确的结论：在涉及总公司和分公司的民事诉讼中，通常不会直接判决总公司承担补充责任，而是根据具体情况判决总公司承担直接清偿责任、补充责任或与分公司共同承担责任。以下是对这一结论的详细解释：

1. 法律规定：

   • 《民法典》和《公司法》均明确规定，分公司的民事责任由总公司承担。具体来说，如果分公司的财产不足以承担其民事责任，那么总公司需要承担补充清偿责任。
   • 需要注意的是，这里的“补充责任”并不是连带责任，而是指在分公司财产不足以清偿债务时，总公司才需要承担剩余部分的清偿责任。

2. 最高院案例：

   • 最高人民法院在相关案例中明确指出，公司对其分公司的债务并不是承担连带责任，而是根据分公司财产是否充足来决定是由分公司单独承担责任，还是由总公司在分公司财产不足时承担补充责任。
   • 如果债权人仅起诉分公司，且生效判决仅判令分公司承担责任，但在执行中发现分公司财产不足以承担责任，那么可以通过执行程序直接追加总公司为被执行人。

3. 执行规定：

   • 根据《最高人民法院关于民事执行中变更、追加当事人若干问题的规定》，如果作为被执行人的法人分支机构不能清偿生效法律文书确定的债务，申请执行人可以申请变更、追加该法人为被执行人。
   • 这意味着，在执行过程中，如果分公司无法清偿债务，法院可以直接执行总公司的财产。

综上所述，在起诉总公司与分公司时，法院会根据具体情况判决总公司承担何种责任。如果分公司财产充足，可能判决分公司单独承担责任；如果分公司财产不足，可能判决总公司承担补充责任或与分公司共同承担责任。但无论如何，都不会直接判决总公司承担连带责任。如果您有具体的法律问题需要咨询，欢迎随时向我提问。