挂靠公司和驾驶员之间不存在劳动关系。下面我将对此进行详细分析：

一. 劳动关系建立的基础

1. 劳动合同的订立：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，劳动关系的建立应当订立书面劳动合同。这是劳动关系存在的基础法律文件，明确了双方的权利和义务。
2. 劳动关系的实质：劳动关系是劳动者与用人单位之间基于劳动合同产生的法律关系，涉及劳动报酬、工作时间、劳动保护等多方面内容。

二. 挂靠关系的性质

1. 挂靠的定义：挂靠通常指的是个人或组织为了某种目的（如获取资质、便利经营等），与另一单位建立形式上的联系，但实质上并不受该单位的管理和支配。
2. 挂靠与劳动关系的区别：挂靠关系并不等同于劳动关系。在挂靠关系中，挂靠者并不接受被挂靠单位的管理和支配，也不从被挂靠单位获取劳动报酬，双方缺乏劳动关系的实质内容。

三. 法律法规的支撑

1. 《中华人民共和国劳动法》的相关规定：根据《中华人民共和国劳动法》第十六条，劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。挂靠关系并不符合这一规定，因为双方并未订立劳动合同，也不存在实质上的劳动关系。
2. 《最高人民法院关于审理工伤保险行政案件若干问题的规定》的解读：虽然《最高人民法院关于审理工伤保险行政案件若干问题的规定》第三条提到了个人挂靠其他单位对外经营时，被挂靠单位可能承担工伤保险责任的情况，但这并不等同于确认挂靠关系就是劳动关系。该规定主要是从工伤保险责任的角度进行规定，与劳动关系的存在与否是两个不同的法律问题。

综上所述，挂靠公司和驾驶员之间不存在劳动关系。挂靠关系只是一种形式上的联系，并不具备劳动关系的实质内容。因此，在处理相关纠纷时，应明确区分挂靠关系与劳动关系，避免混淆。如有进一步需要，您可以继续咨询我。