招商信用卡逾期4个账单且逾期5个多月，银行有可能会寄送催收信函。

一. 银行催收流程

1. 初期催收：通常，信用卡逾期后，银行会首先通过电话、短信等方式进行催收，提醒持卡人尽快还款。
2. 进一步措施：如果持卡人未能及时还款，且逾期时间较长，如题目中所述的4个账单且逾期5个多月，银行可能会采取进一步措施，包括但不限于寄送催收信函。
3. 法律手段：在更严重的逾期情况下，银行可能会通过法律手段来追讨欠款，如提起诉讼。

二. 催收信函的可能性

• 考虑到逾期时间和账单数量，银行为了维护自身权益，有可能会选择寄送催收信函作为进一步催收的手段。信函通常会包含还款提醒、逾期后果等内容，旨在督促持卡人尽快还款。

三. 建议与后果

1. 及时还款：我建议您尽快与银行联系，了解具体欠款情况，并尽快安排还款。避免逾期时间进一步延长，导致更严重的后果。
2. 信用影响：长时间逾期不仅会影响您的个人信用记录，还可能对未来申请贷款、信用卡等金融业务造成不利影响。
3. 法律责任：如果银行采取法律手段追讨欠款，您可能需要承担额外的法律责任和费用。

综上所述，招商信用卡逾期4个账单且逾期5个多月，银行有可能会寄送催收信函。我建议您尽快与银行联系并安排还款，以避免更严重的后果。如有进一步需要，您可以继续咨询我。