公司应当在员工辞职时开具离职证明。这是公司的法定义务，离职证明对于劳动者后续求职、社保转接、公积金提取等事务具有至关重要的作用。以下是对此问题的详细解析：
法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这一规定明确了用人单位在劳动关系结束时为员工开具离职证明的法定义务。
公司拒绝开具离职证明的后果
公司如果拒绝开具离职证明，将可能面临以下后果：
- 劳动行政部门的处罚：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条，用人单位未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，劳动行政部门有权责令其改正，并可对公司进行行政处罚。
- 赔偿责任：如果因公司未开具离职证明导致劳动者遭受损失，如无法顺利入职新公司而产生的工资损失，劳动者有权要求公司承担赔偿责任。
劳动者应对措施
如果公司拒绝开具离职证明，劳动者可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
与公司协商：
- 直接沟通：首先尝试与公司的人力资源部门或上级领导进行友好沟通，明确指出根据《劳动合同法》规定，公司有义务出具离职证明，并强调其重要性。
- 书面申请：若直接沟通无果，可发送正式的书面邮件或信函给公司，再次阐明诉求，并保留好邮件或信函记录作为证据。
向劳动监察部门投诉：
- 准备好相关证据材料，如劳动合同、工作证明（如工资条、工作证、考勤记录等）以及向公司索要离职证明但遭到拒绝的证据。
- 将准备好的材料提交给当地的劳动监察部门，详细说明公司拒绝开具离职证明的情况，请求其介入调查并要求公司开具离职证明。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 若劳动监察部门的处理未能解决问题，劳动者可在规定的仲裁时效内（一般为一年）向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交仲裁申请及相关证据。
- 如劳动者对仲裁结果不服，可向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的合法权益。
注意事项
- 保留证据：在处理此类问题时，劳动者应妥善保留所有相关证据，以便在必要时证明自己的主张。
- 及时行动：若公司拒绝开具离职证明，劳动者应及时采取行动，通过合法途径维护自己的权益，避免延误时机。
综上所述，公司应当在员工辞职时开具离职证明，这是公司的法定义务。如果公司拒绝开具，劳动者可以通过与公司协商、向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼等途径来维护自己的合法权益。