消防员受伤应依法申请工伤认定，并根据认定结果进行赔偿。具体分析如下：

一. 工伤认定与赔偿流程

1. 申请工伤认定：消防员受伤后，应首先申请工伤认定。根据《工伤保险条例》第十四条，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。消防员在执行任务时受伤，显然符合这一条件。
2. 劳动能力鉴定：工伤认定后，需进行劳动能力鉴定，以确定伤残等级和赔偿标准。
3. 索赔：根据鉴定结果，消防员可以向用人单位或社会保险部门提出索赔要求。

二. 用人单位责任

1. 用人单位申请：用人单位应在规定时间内向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若用人单位未提出，工伤消防员或其近亲属可直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
2. 赔偿义务：一旦认定为工伤，用人单位或社会保险部门应依法履行赔偿义务，包括支付医疗费用、康复费用、伤残津贴等。

三. 未签劳动合同情况

1. 双倍工资：若消防员与用人单位未签订劳动合同，且用人单位因此拒绝承担工伤赔偿责任，消防员可以收集相关证据（如工资条、打卡记录等）要求单位支付双倍工资作为赔偿。

四. 停工留薪期待遇 在停工留薪期内，消防员的原工资福利待遇不变，由用人单位按月支付。

综上所述，消防员受伤后应依法进行工伤认定和劳动能力鉴定，并根据鉴定结果向用人单位或社会保险部门索赔。若用人单位未履行赔偿义务或未签订劳动合同，消防员可以依法维护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。