在劳动能力鉴定下来之后，公司需要先行支付的两项主要赔偿是：

1. 停工留薪期工资福利待遇：根据《工伤保险条例》，职工因工受伤需要暂停工作接受医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由用人单位按月支付。这是为了保障工伤职工在治疗和恢复期间的经济生活不受影响。

2. 一次性伤残就业补助金（若适用）：对于五至十级伤残的职工，如果他们提出解除或终止劳动关系，用人单位需要支付一次性伤残就业补助金。这项补助金的支付标准由省、自治区、直辖市人民政府规定，具体数额会根据伤残等级和当地政策而有所差异。

需要注意的是，这两项赔偿的支付前提是职工已经被认定为工伤，并且经过了劳动能力鉴定。如果用人单位未按规定支付这些赔偿，工伤职工可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。