在您提到的情况中，父亲去世，母亲失智，子女希望成为法定监护人，这涉及到法律对于监护人的规定和监护程序的执行。以下是我为您提供的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定：
- 第二十一条：不能辨认自己行为的成年人为无民事行为能力人，由其法定代理人代理实施民事法律行为。
- 第二十八条：无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人，由下列有监护能力的人按顺序担任监护人：
- 配偶；
- 父母、子女；
- 其他近亲属；
- 其他愿意担任监护人的个人或者组织，但是须经被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意。
二、成为法定监护人的流程
确定母亲为无民事行为能力人：
- 需要通过医院诊断证明、病历资料等医学文件来证明母亲由于失智无法辨认自己的行为。
- 可以向母亲住所地的基层人民法院提出申请，请求认定母亲为无民事行为能力人。
- 法院将依法进行审理，并可能指定鉴定机构对母亲进行民事行为能力鉴定。
申请成为监护人：
- 在母亲被认定为无民事行为能力人后，您可以向法院提出申请，请求指定自己为母亲的监护人。
- 申请时应提交相关材料，包括申请书、身份证明材料（您和母亲的身份证、户口本等）、关系证明（如出生证明等）、以及母亲的医学诊断证明等。
法院审理与指定：
- 法院将对您的申请进行审理，考虑您的监护能力、与母亲的关系、以及其他相关因素。
- 如果法院认为您适合担任监护人，将依法指定您为母亲的监护人。
三、注意事项
- 监护职责：作为监护人，您将负责母亲的生活照料、医疗决策、财产管理等事务。请确保您能够承担起这些责任。
- 监护监督：在某些情况下，可能会有监护监督机构或个人对您的监护行为进行监督。请遵守法律法规，确保您的监护行为符合母亲的利益。
- 变更与终止：如果未来您的监护能力发生变化或母亲的情况有所改善，可能需要变更或终止监护关系。请及时了解相关法律法规，以便在需要时采取适当的行动。
四、寻求专业帮助
在处理这类涉及法律程序的事务时，建议您寻求专业律师的帮助。律师可以提供更详细的法律建议和指导，确保您的权益得到妥善保护。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。