当聘用合同人员的人事关系终止后，需要按照一系列规定的流程来处理相关事宜。以下是对这一问题的详细解答：

首先，要明确聘用合同终止即意味着人事关系的同时终止。根据《事业单位人事管理条例》及相关规定，聘用合同期限届满的，聘用合同即行终止。若受聘人员存在特定情形（如正在接受纪律审查尚未做出结论等），则聘用合同期限会依法顺延至相应情形消失。

在聘用合同终止后，用人单位负有及时为终止聘用合同人员办理各项手续的责任。这些手续可能包括但不限于工作交接、薪资结算、社会保险和公积金的停缴或转移、离职证明的出具等。确保这些手续得到妥善处理，是保障双方权益的重要一环。

对于终止聘用合同的人员来说，他们也需要关注自己的权益保护。如果认为在合同终止过程中存在不公或争议，可以通过协商、投诉或申请劳动仲裁等方式来维护自己的合法权益。在提起劳动仲裁之前，建议收集好相关证据，如工资单、考勤记录、工作过程中的文件记录等，以证明与用人单位之间的劳动关系及争议事实。

此外，如果聘用合同到期后，人员希望续签合同但被单位拒绝，这也需要按照相关规定来处理。在这种情况下，可以先尝试与用人单位进行协商，了解拒绝续签的具体原因。如果协商无果，且认为自己的权益受到侵害，同样可以通过投诉或申请劳动仲裁来寻求解决方案。

综上所述，聘用合同人员的人事关系终止后，需要按照相关规定和流程来处理相关事宜。用人单位应负责办理终止合同的各项手续，而终止合同的人员也应关注自己的权益保护，并在必要时采取相应措施来维护自己的合法权益。