当政府聘任制人员的合同到期时，确实需要根据具体情况和相关法律法规来妥善处理后续事宜。以下是我为您提供的详细分析和建议：
一、明确合同类型与期限
首先，您需要确认自己的合同类型。政府聘任制人员的合同通常分为固定期限合同和无固定期限合同，其中固定期限合同更为常见。固定期限合同会明确约定合同的起始和终止日期，一旦合同到期，除非另有约定或法律另有规定，双方的权利和义务即行终止。
二、处理流程与建议
审查合同条款：
- 在合同到期前，您应仔细阅读合同中的“续签条款”或“终止条款”，了解合同到期后的具体处理方式。
- 如果合同中有自动续签的条款，您需要确认自己是否满足续签条件，并了解续签的具体流程。
沟通协商：
- 主动与雇主（即政府部门）进行沟通，表达您希望续签合同的意愿，或者了解不续签的原因。
- 如果双方都有意续签，应就新的合同条款进行协商，并签订新的劳动合同。
办理离职手续（如合同不续签）：
- 如果合同不续签，您需要按照雇主的要求，办理工作交接、归还公司财产等离职手续。
- 确保工资、福利、经济补偿金（如有）等已全部结清，避免后续纠纷。
关注法律权益：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，如果雇主无正当理由不续签合同，且您符合签订无固定期限劳动合同的条件，您有权要求签订无固定期限劳动合同。
- 如果因雇主原因不续签导致您失业，您可以依法享受失业保险待遇。
寻求法律援助（如必要）：
- 如果在合同到期处理过程中遇到纠纷或争议，您可以咨询专业律师或向当地劳动监察部门投诉，以维护自己的合法权益。
三、特殊情况处理
试用期满后未转正：
- 如果您的合同是在试用期内且未转为正式员工，合同到期后将自然终止，无需额外处理。但请注意，试用期也应包含在合同期限内，且试用期长度应符合法律法规规定。
合同变更或解除：
- 在合同期限内，如果双方协商一致，可以变更或解除合同。但变更或解除合同需遵守相关法律法规和合同约定，确保双方权益不受损害。
总之，当政府聘任制人员的合同到期时，您应首先明确合同类型和期限，然后按照上述流程和建议进行处理。如有任何疑问或纠纷，请及时咨询专业律师或相关部门以获取帮助。