当政府劳务派遣合同到期后，其处理方式主要依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定以及合同中的具体约定，同时涉及派遣单位、用工单位和被派遣劳动者三方的权益。以下是对此问题的详细解答：
一、合同自然终止与离职手续
自然终止条件：若劳务派遣合同到期，且派遣单位、用工单位和被派遣劳动者三方均未提出续签要求，合同将自然终止。
离职手续办理：合同终止后，劳务派遣单位和用工单位需共同为劳动者办理离职手续。这包括结清工资、出具离职证明、办理档案和社保关系的转移等，确保劳动者的权益得到妥善保障。
二、协商续签劳务派遣合同
续签协商：若劳动者愿意继续在劳务派遣模式下工作，且派遣单位与用工单位也有继续使用的需求，三方可以协商续签合同。
续签内容：新合同应明确工作岗位、工作地点、薪资待遇等关键条款，并确保这些条款符合《劳动合同法》等相关法律法规的规定。同时，派遣单位有义务提前通知劳动者关于续签的意向，以便劳动者有足够时间考虑。
三、转为正式劳动关系
转换条件：在符合法律规定且三方协商一致的情况下，被派遣劳动者有机会与用工单位直接签订劳动合同，实现从劳务派遣工到正式工的转变。
合同签订：若决定转为正式劳动关系，用工单位应与劳动者签订正式的劳动合同，明确双方的权利和义务，包括工作内容、工作地点、薪资待遇、工作时间、休息休假等。
四、解除劳动关系与经济补偿
解除条件：若合同到期后无法达成续签或其他一致意见，且符合法定解除条件（如劳动者严重违反规章制度），用工单位可以解除劳动关系。但需注意，解除劳动关系必须依法进行，避免侵犯劳动者的合法权益。
经济补偿支付：根据《劳动合同法》的规定，除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而劳动者不同意的情况外，因劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
五、特殊情况处理
特殊保护期：若被派遣劳动者在合同到期时处于孕期、产期、哺乳期等特殊保护期内，劳动合同应续延至相应情形消失时终止。期间，劳务派遣单位与用工单位需保障劳动者的各项权益，如提供必要的劳动保护、支付工资等。
劳动纠纷：若在合同到期时存在劳动纠纷，如工资拖欠、工伤赔偿等，劳动者可与劳务派遣单位和用工单位协商解决。协商不成的，可通过劳动仲裁、诉讼等法律途径维权。在纠纷解决期间，劳动合同的处理可能受影响，需根据具体情况和法律裁决确定后续状态。
六、各方注意事项
劳务派遣单位：应主动与用工单位沟通，了解后续用工需求；与劳动者协商续签或安置事宜，确保合法合规；为劳动者提供必要的职业指导和帮助。
用工单位：应结合自身生产经营情况，评估是否需要继续劳务派遣；协助劳务派遣单位做好劳动者的工作交接，确保平稳过渡；保障劳动者的合法权益，如提供必要的劳动条件、支付加班费等。
被派遣劳动者：应了解自己的权益和义务，积极参与合同续签或转换劳动关系的协商；保留好相关证据，如工资条、工作证等，以便在发生争议时维护自己的合法权益；及时关注合同到期后的相关事宜，避免错过重要时间节点。
综上所述，政府劳务派遣合同到期后的处理方式需综合考虑法律法规、合同约定及双方实际意愿。在处理过程中，应注重保护劳动者的合法权益，确保双方能够依法、合规地处理好合同到期后的相关事宜。