私人单位工伤是应该发工资的。以下是详细分析：

一. 工伤期间的工资待遇

1. 法律依据：根据《工伤保险条例》第三十三条第一款：“职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付”。这表明，无论单位性质如何，只要员工因工伤需要暂停工作接受医疗，单位都应支付其原工资福利待遇。
2. 实际应用：在私人单位，员工因工伤暂停工作期间，单位应按照员工原来的工资福利待遇进行支付，不得降低或停发。

二. 工伤认定的流程

1. 申报：员工发生工伤后，单位应及时向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
2. 认定：社会保险行政部门会根据相关规定对工伤进行认定，并出具工伤认定决定书。
3. 待遇支付：一旦工伤被认定，单位就应按照《工伤保险条例》的规定支付员工停工留薪期间的工资福利待遇。

三. 特殊情况处理

1. 单位未参加工伤保险：如果私人单位未参加工伤保险，那么员工工伤期间的工资福利待遇仍应由单位承担。
2. 争议解决：如果单位与员工在工伤待遇支付上存在争议，员工可以通过劳动争议仲裁或诉讼等方式来维护自己的合法权益。

我建议，如果私人单位员工发生工伤并需要暂停工作接受医疗，应确保单位按照《工伤保险条例》的规定支付其停工留薪期间的工资福利待遇。如遇单位拒付或降低待遇等情况，员工应及时通过法律途径来维护自己的权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。