工厂无理由辞退员工且不退体检费的行为违法，您可以要求工厂支付经济补偿并退还体检费。针对您的问题，我们分析如下：

一. 工厂无理由辞退员工违法

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
2. 分析说明：工厂若无正当理由辞退您，即违反了劳动合同法的规定。您可以选择要求工厂继续履行劳动合同，或者选择不要求继续履行并要求工厂支付经济赔偿金。

二. 工厂不退体检费违法

1. 法律依据：虽然劳动合同法未直接规定体检费的退还，但根据《中华人民共和国劳动法》第三条，劳动者享有获得劳动安全卫生保护的权利。体检作为劳动安全卫生保护的一部分，其费用理应由用人单位承担。若工厂在辞退您后不退还体检费，实际上侵犯了您的合法权益。
2. 分析说明：体检费是您在工厂工作期间因工作需要而支出的费用，工厂在辞退您时应当予以退还。若工厂拒绝退还，您可以向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁要求工厂退还。

综上所述，我建议您首先与工厂进行协商，要求工厂支付经济赔偿金并退还体检费。若协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，以维护您的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。