当工厂辞退员工且未签订劳动合同、不给予赔偿时，劳动者可以依据相关法律法规来维护自己的合法权益。以下是对此问题的详细解答：
一、明确法律依据
未签劳动合同的法律责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，从员工入职的第二个月开始至第十二个月，如果工厂未与员工签订劳动合同，则需支付双倍工资差额。
- 若超过一年仍未签订劳动合同，则视为已订立无固定期限劳动合同，并且工厂需继续承担未签合同期间的双倍工资差额，但需注意劳动仲裁时效的限制。
违法解除劳动合同的赔偿责任：
- 根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，如果工厂无故辞退员工且无法证明有合法理由，构成违法解除劳动关系，工厂应按经济补偿标准的两倍支付赔偿金。
- 经济补偿按员工在工厂工作的年限计算：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
二、采取维权措施
与公司协商：
- 首先尝试与工厂进行友好协商，要求支付未签劳动合同的双倍工资差额及违法解除劳动合同的赔偿金。
- 在协商过程中，务必保留相关证据，如录音、聊天记录等，以备后续使用。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。
- 提交仲裁申请时，需准备相关证据材料，包括工作记录、工资条、同事证言、考勤记录等，以证明劳动关系及工厂的违法行为。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意或工厂拒不履行仲裁裁决，劳动者可以向法院提起诉讼。
- 法院将根据双方提供的证据进行审理，并作出判决。
三、收集并保留关键证据
- 证明劳动关系的证据：工作证、服务证、考勤记录、同事证言、工作邮件、微信聊天记录等。
- 证明工资水平的证据：工资条、银行流水、纳税记录等。
- 证明工厂违法行为的证据：辞退通知书、工厂规章制度、相关录音录像等。
四、其他可主张的权益
- 补缴社会保险：如果工厂未为员工缴纳社保，员工可以向社保部门投诉要求补缴，相关费用由工厂承担。
- 加班工资追偿：如果存在加班事实但工厂未支付加班费，员工可以提供考勤记录等证据主张补发。
- 失业保险待遇申领：如果符合失业保险申领条件，员工可以申请失业保险金以减轻经济压力。
五、注意事项
- 及时行动：劳动仲裁的申请时效为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，务必在法定时效期内采取行动。
- 寻求专业帮助：如有需要，可以咨询律师或法律援助机构，获取更专业的法律建议和支持。
综上所述，当工厂辞退员工且未签订劳动合同、不给予赔偿时，劳动者可以通过明确法律依据、采取维权措施、收集并保留关键证据以及注意相关事项来维护自己的合法权益。