结论：工厂没有签劳动合同且被辞退的情况下，您有权要求工厂支付未签劳动合同的双倍工资差额以及经济补偿金，并可以通过劳动仲裁来维护自己的合法权益。

详细分析：

1. 未签劳动合同的双倍工资差额：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果工厂在您入职后一个月内没有与您签订劳动合同，那么从第二个月开始，工厂就需要向您支付双倍的工资。
   • 计算方式：假设您在工厂工作了N个月（N>1），且前一个月工厂未与您签订劳动合同，那么您有权要求工厂支付(N-1)个月的双倍工资差额。具体数额为您实际工资的相应倍数。

2. 经济补偿金：

   • 如果工厂无正当理由辞退您，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条和第四十七条的规定，您有权要求工厂支付经济补偿金。经济补偿金的标准通常是根据您在工厂的工作年限和月工资来计算的。
   • 计算方式：经济补偿金=工作年限×月工资。其中，工作年限不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿；六个月以上不满一年的，按一年计算，支付一个月工资的经济补偿；每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

3. 劳动仲裁流程：

   • 如果您决定通过劳动仲裁来维护自己的权益，首先需要准备相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与工厂之间存在劳动关系以及工厂未签劳动合同和违法辞退的事实。
   • 然后，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并按照仲裁委员会的要求填写相关表格和提交证据。
   • 仲裁委员会在受理您的申请后，会安排开庭审理，并根据双方提供的证据和法律规定作出裁决。

建议与提醒：

• 在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，不要与工厂发生不必要的冲突。
• 尽可能收集并保存好所有与工作相关的证据，以便在劳动仲裁中证明自己的权益。
• 如果您对劳动仲裁流程或相关法律规定不熟悉，可以寻求专业律师的帮助或咨询当地劳动部门的工作人员。

后续行动：

• 如果您决定采取法律行动，请尽快准备相关证据并提交仲裁申请，以免超过法定的仲裁时效。
• 在仲裁过程中，积极配合仲裁委员会的工作，如实陈述事实和提供证据。

如果您有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。