私人老板欠农民工工资，通常情况下是可以申请劳动仲裁的。但具体能否申请，还需根据实际情况来判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 劳动关系与劳务关系的区别：

   • 如果私人老板是以个体工商户等合法经营的形式雇佣劳动者，那么双方之间形成的是劳动关系。在这种情况下，劳动者被欠工资是可以申请劳动仲裁的，这是解决劳动争议的法定办法。
   • 如果私人老板是个人雇佣，双方之间形成的是劳务关系，那么就不能通过劳动仲裁来解决工资纠纷。劳动者需要通过民事诉讼来索要劳务报酬。

2. 申请劳动仲裁的条件：

   • 劳动者需要能提供劳动合同、工作证、工资条、考勤记录等证明劳动关系的证据。
   • 劳动者需要向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提交申请。

3. 申请劳动仲裁的流程：

   • 准备材料：包括仲裁申请书、本人身份证件、劳动关系证明材料及欠薪相关证据。
   • 提交申请：向相应的劳动争议仲裁委员会递交上述材料。
   • 等待受理：仲裁委在收到申请后会在一定时间内决定是否受理，并通知双方。
   • 参加仲裁：按通知时间参加庭审，双方进行举证、质证、辩论，之后仲裁委作出裁决。

4. 申请劳动仲裁的胜算与赔偿：

   • 胜算大小需结合具体情况判断。若劳动者能提供充分证据，胜算较大。
   • 若成功申请劳动仲裁且劳动者胜诉，老板拒不执行仲裁结果，劳动者可向法院申请强制执行。
   • 根据《劳动合同法》，用人单位未按时足额支付工资，还可能需支付赔偿金。

综上所述，私人老板欠农民工工资能否申请劳动仲裁，关键在于双方之间形成的是劳动关系还是劳务关系。如果是劳动关系，劳动者可以依法申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。如果是劳务关系，则需要通过民事诉讼来解决问题。在申请劳动仲裁时，劳动者需要准备充分的证据，并按照规定的流程进行申请。