当公司双方签订合同后，如果对方不及时供货，这确实构成了一个合同违约的问题。为了妥善处理这种情况，您可以按照以下步骤来操作：

首先，您需要仔细查阅合同条款。合同中通常会明确约定供货的时间、方式以及违约责任等相关内容。通过对比合同约定和对方的实际供货情况，您可以明确对方是否确实存在违约行为。

一旦确认对方违约，接下来应该及时发函给对方。在函件中，您要明确指出对方未按约定时间供货的违约事实，并要求对方在合理的期限内完成供货。同时，也要明确告知对方，如果其不履行供货义务，您将不得不采取法律手段来追究其责任。

如果对方在收到您的函件后仍然不供货，那么您就可以根据合同的约定来追究其违约责任。这可能包括要求对方返还您已经支付的款项，或者支付合同约定的违约金。如果合同中对违约金的数额没有明确约定，您也有权根据实际遭受的损失来主张赔偿。

在与对方协商的过程中，如果无法达成一致，您还可以选择向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要准备好合同、付款凭证等相关证据，以证明您与对方之间的合同关系以及对方的违约事实。通过司法途径，您可以强制对方履行合同义务或承担赔偿责任，从而维护自己的合法权益。

总的来说，面对对方不及时供货的情况，您应该保持冷静，依据合同条款和法律法规来妥善处理。通过发函催告、追究违约责任以及必要的法律手段，您可以有效地维护公司的利益和声誉。