行政机关内部追责问责方式主要包括以下几类：
一、组织处理类问责方式
责令限期纠正：针对行政决策或行为中的轻微失误或不当，上级机关会要求相关责任人在规定时间内进行整改，以纠正错误并防止类似情况再次发生。
责令公开道歉：当行政机关或其工作人员的行为对公民、法人或其他组织的合法权益造成不良影响时，需通过公开方式，例如媒体发布、官方声明等，向受影响方表达歉意，旨在恢复政府公信力和民众信任。
停职检查：对于问题较为严重但尚未达到撤职程度的情况，可暂时停止问责对象的职务，要求其进行自我反思和检查，并提交检查报告，以便进一步评估其是否适合继续履职。
引咎辞职与责令辞职：若问责对象因工作严重失误、失职造成重大损失或恶劣影响，应主动提出辞职；若不主动辞职，上级机关将责令其辞职。对于拒不辞职者，可通过组织程序免去其职务。
免职：对于不再适合担任现职的问责对象，将按照法定程序免去其职务。免职后，根据其表现和问题处理结果，可能会重新安排工作。
暂停或建议暂停公职：在涉嫌严重违纪违法的情况下，可暂时停止相关人员的公职，或向有关机关提出暂停其公职的建议，以确保调查能够顺利进行。
二、纪律处分类问责方式
警告：对犯有轻微错误或存在一定违纪行为的行政人员提出警示和告诫，处分期限为6个月。期间，受处分人员不得晋升职务和级别，但工资档次可晋升。
记过与记大过：这两种处分适用于违纪行为较为严重但仍可继续任职的行政人员。记过处分期限为12个月，记大过为18个月。在此期间，受处分人员在职务、级别和工资晋升方面均会受到限制。
降级：降低受处分行政人员的级别及相应工资待遇，以表明其违纪行为已对工作造成较大影响。
撤职：撤销受处分人员所担任的职务，并降低其级别。这种处分通常适用于严重违法违纪、给国家和人民利益造成重大损失的情况。撤职后，职务、权力和待遇均被取消。
开除：这是最为严厉的纪律处分，意味着受处分人员与行政机关的人事关系被解除，不再具有公务员身份。此处分适用于严重违法违纪、已不适合继续留在行政机关工作的人员。
三、法律责任追究
若行政行为触犯刑法，将依法追究相关责任人的刑事责任，以确保法律的严肃性和权威性。
综上所述，行政机关内部追责问责方式多样且灵活，旨在根据不同情况采取适当的惩处与改进措施，以促进行政机关及其工作人员的依法履职和廉洁奉公。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。