首先，我们要明确一点：是否构成工伤，并不直接取决于个人的身份或资质，而是要看是否满足工伤的法定条件。现在，我们来具体分析这个问题。

结论前置：没有资质的农民工小老板在工地干活死亡，是否构成工亡，需要看其是否满足工伤的认定条件，特别是要看其与用工单位之间是否存在劳动关系或事实劳动关系，并且是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害或患职业病。

详细分析：

1. 劳动关系的判断：

   • 工伤的前提是存在劳动关系。对于没有资质的农民工小老板，如果其与用工单位签订了劳动合同，或者虽然未签订劳动合同但实际上存在劳动关系（如长期稳定的提供劳务并接受管理），则有可能被认定为工伤。
   • 如果其只是偶尔提供劳务，或者与用工单位之间更像是承揽关系而非劳动关系，那么可能不会被认定为工伤。

2. 工作时间和工作场所的判断：

   • 工伤还需要满足在工作时间和工作场所内因工作原因受到事故伤害的条件。因此，需要考察该农民工小老板死亡时是否正在从事与工作相关的活动，以及是否在工作场所内。

3. 工亡的认定程序：

   • 如果满足上述条件，其家属或用人单位可以向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请。社会保险行政部门会根据相关证据和法律规定，作出是否认定为工伤的决定。
   • 如果被认定为工伤，其家属将有权获得相应的工伤赔偿，包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。

4. 特殊情况的考虑：

   • 如果该农民工小老板是非法用工单位（如未取得营业执照或未经依法登记、备案的单位）的职工，或者用工单位使用了童工，虽然这些情况下可能不存在合法的劳动关系，但根据相关规定，仍有可能获得一次性赔偿。

综上所述，没有资质的农民工小老板在工地干活死亡是否构成工亡，需要具体问题具体分析。建议其家属或相关当事人及时咨询当地的社会保险行政部门或专业律师，以便更准确地了解自己的权益和可能的赔偿途径。如果您有进一步的法律问题或需要更详细的咨询，请直接向我提问。