当店铺被投诉虚假宣传时，商家应当采取以下措施来妥善处理：

1. 虚心接受并配合调查：

   • 商家应首先保持冷静，虚心接受消费者的投诉，并积极配合相关部门的调查工作。
   • 提供必要的证据和资料，以便调查部门能够全面了解情况。

2. 主动整改：

   • 一旦查实存在虚假宣传行为，商家应立即停止相关宣传，并更正错误信息。
   • 公开道歉，向消费者表达诚挚的歉意，并承诺不再发生类似问题。
   • 加强内部管理，对宣传内容进行严格审核，确保信息的真实性和准确性。

3. 承担法律责任：

   • 根据《中华人民共和国反不正当竞争法》的相关规定，商家因虚假宣传可能面临责令停止违法行为、罚款、吊销营业执照等行政处罚。
   • 如果商家的虚假宣传行为构成欺诈，消费者还可以根据《消费者权益保护法》的规定要求商家承担修理、重作、更换、退货、补足商品数量、退还货款和服务费用或者赔偿损失等民事责任。

4. 与消费者沟通协商：

   • 商家应主动与投诉的消费者进行沟通，了解其具体诉求，并尽力满足其合理要求。
   • 可以通过协商达成和解，减少不必要的法律纠纷。

5. 加强自律和诚信经营：

   • 商家应以此为契机，加强自律意识，遵守法律法规和商业道德。
   • 诚信经营，提供优质的商品和服务，以赢得消费者的信任和支持。

综上所述，店铺被投诉虚假宣传时，商家应虚心接受并配合调查、主动整改、承担法律责任、与消费者沟通协商以及加强自律和诚信经营。这些措施有助于维护商家的合法权益和良好形象，同时也保护了消费者的合法权益。