事业单位招聘主要由政府人事行政部门以及事业单位的上级主管部门负责。他们负责对事业单位公开招聘工作进行指导、监督和管理。具体来说：

1. 政府人事行政部门：这是政府所属事业单位进行公开招聘工作的主管机关。他们与事业单位的上级主管部门共同负责招聘工作的宏观管理和政策制定。

2. 事业单位的上级主管部门：他们也对所属事业单位的招聘工作负有管理和监督责任，参与招聘计划的核准、备案以及招聘过程的监督。

3. 事业单位自身：事业单位可以成立由本单位人事部门、纪检监察部门、职工代表及有关专家组成的招聘工作组织，具体负责招聘工作的实施，包括制定招聘计划、发布招聘信息、组织考试考核等。

此外，根据最新的通知和要求，事业单位公开招聘工作还在不断加强统筹，改进和完善组织方式。例如，中央和国家机关各部门所属事业单位的某些岗位，原则上由主管部门集中组织公开招聘；而高校、科研院所、公立医院等规模较大的事业单位，则可以按照规定程序和要求自主组织开展公开招聘。

总的来说，事业单位招聘是一个涉及多个部门和层级的复杂过程，需要各方密切配合，共同确保招聘工作的公开、公平、公正。