当二手房东遇到租赁到期后租客不走的情况时，可以遵循以下步骤来妥善处理：
一、前置沟通与协商
提醒告知：
- 在租赁合同到期前的合理时间内（如提前一周至一个月，具体依据合同约定），书面或口头通知租客合同即将到期，并询问其是否有续租意愿。
- 如果租客表示不续租，应明确提醒其在合同到期日按时搬离，并完成房屋交接。
了解原因与协商：
- 若租客到期未搬走，及时与其沟通，了解其滞留的具体原因，如是否因找房困难、经济问题或其他特殊情况。
- 根据租客的情况，双方可在自愿基础上协商给予一定的宽限期，并明确宽限期的时长及期间的租金或占用费用计算方式。最好签订书面的补充协议以作证明。
二、发送正式通知
限期搬离通知：
- 若沟通协商无果，应向租客发送正式的《限期搬离通知》。
- 通知中应明确指出租赁合同已到期，要求租客在指定的合理期限内（通常为3-7天，但可根据实际情况调整）搬离房屋。
- 注明逾期不搬离将可能承担的法律后果，如支付逾期占用费用、承担违约责任等。
送达方式与凭证保留：
- 通知可通过快递（选择可查询投递状态的方式，并在快递单上注明文件内容）、电子邮件（确保邮件有效送达且有发送记录）或当面送达（让租客签字确认收到）。
- 无论采用何种方式，都应妥善保留发送凭证，以备后续可能需要证明通知已有效送达。
三、寻求第三方调解
- 若租客仍拒绝搬离，可寻求第三方调解机构的帮助，如当地的居委会、街道办事处、物业管理公司或房地产中介协会等。
- 这些机构能够居中斡旋，组织双方进行协商调解，以期达成双方都能接受的解决方案。
四、法律途径解决
发送律师函：
- 若第三方调解无效，可委托律师向租客发送律师函。
- 律师函具有法律威慑力，会明确告知租客其行为已构成违约，并要求其在规定时间内搬离及承担违约责任。
提起诉讼：
- 若律师函发出后租客仍拒不搬离，可向房屋所在地的人民法院提起诉讼。
- 诉讼过程中，需提供充分的证据，包括租赁合同、《限期搬离通知》、律师函、房屋现状照片或视频等，以证明租赁合同已到期且租客未按时搬离的事实。
执行判决：
- 若法院判决支持诉讼请求，但租客仍拒绝执行，可向法院申请强制执行。
- 法院将采取强制措施，如查封、拍卖租客在房屋内的财产等，以迫使其搬离并承担执行费用。
五、注意事项
- 在整个过程中，应确保自己的行为合法合规，不得侵犯租客的合法权益。
- 保持冷静和理性，避免与租客发生不必要的冲突或采取过激行为。
- 尊重租客的人格和隐私，不得进行言语攻击或恶意骚扰。
- 如需进一步咨询或协助，可联系当地房屋管理部门、法律服务机构或相关社区组织。
综上所述，当二手房东遇到租赁到期后租客不走的情况时，应通过沟通协商、发送正式通知、寻求第三方调解以及法律途径等多种方式来解决问题。同时，应确保自己的行为符合法律法规的要求，并尊重和保护租客的合法权益。